Trong lý thuyết về sóng, phương trình liên tục là định luật bảo toàn năng lượng trong một đơn vị thể tích có sóng lan truyền. Dạng vi phân của nó như sau:

div ⁡ j + ∂ w ∂ t = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial w}{\partial t}}=0}

trong đó j = j ( x , y , z , t ) {\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} (x,y,z,t)} - là vec-tơ mật độ dòng năng lượng tại điểm có tọa độ ( x , y , z ) {\displaystyle \left(x,y,z\right)} tại thời điểm t {\displaystyle \,t} , w = w ( x , y , z , t ) {\displaystyle \,w=w(x,y,z,t)} - là mật độ năng lượng.

Dẫn dắt

Theo định nghĩa, vec-tơ mật độ dòng năng lượng - là vec-tơ có môdul bằng năng lượng chuyển qua một đơn vị diện tích vuông góc với hướng truyền năng lượng trong một đơn vị thời gian, nghĩa là j = d W d t d S ⊥ {\displaystyle j={\frac {dW}{dtdS_{\bot }}}} , còn hướng của vec-tơ trùng với hướng truyền năng lượng. Khi đó năng lượng trong một đơn vị thời gian từ một thể tích V:

∮ S j d S = d W o u t d t {\displaystyle \oint \limits _{S}{\mathbf {j} d\mathbf {S} }={\frac {dW_{out}}{dt}}}

Theo định luật bảo toàn năng lượng d W o u t d t = − d W i n d t {\displaystyle {\frac {dW_{out}}{dt}}=-{\frac {dW_{in}}{dt}}} , trong đó W i n {\displaystyle W_{in}} - năng lượng trong thể tích V. Theo định nghĩa, mật độ năng lượng - năng lượng của một đơn vị thể tích, khi đó năng lượng toàn phần trong phần thể tích V bằng:

W i n = ∫ V w d V {\displaystyle W_{in}=\int \limits _{V}{wdV}}

Khi đó biểu thức cho dòng năng lượng có dạng:

∮ S j d S = − d d t ∫ V w d V = − ∫ V ∂ w ∂ t d V {\displaystyle \oint \limits _{S}{\mathbf {j} d\mathbf {S} }=-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{wdV}=-\int \limits _{V}{{\frac {\partial w}{\partial t}}dV}}

Áp dụng công thức Gauss-Ostrogradsky cho phần bên trái, thu được:

∫ V div ⁡ j d V = − ∫ V ∂ w ∂ t d V {\displaystyle \int \limits _{V}{\operatorname {div} \mathbf {j} dV}=-\int \limits _{V}{{\frac {\partial w}{\partial t}}dV}}

Do chọn bất kỳ thể tích, nên ta thu được dạng vi phân của phương trình liên tục.